위치적 기수법(Positional Numeral System)과 진법 변환

사진출처: 위키피디아

 

기수법(記數法, Numeral System)은 수를 기호나 숫자로 표현하는 방법이나 체계를 의미하고 한자를 풀어보면 기록할 기(記), 셈 수(數), 법 법(法)입니다. 말 그대로 숫자를 기록하는 방법이며 현대에 쓰이는 아라비아 숫자 1, 2, 3과 로마 숫자, 그리스 숫자, 이집트 숫자 모두 기수법에 해당합니다.

 

 

사진출처: 위키피디아

 

위치값 기수법(Positional Number System)은 기수법에 포함되는 개념입니다. 위치값 기수법에서는 수의 각 자리가 위치에 따라 다른 자릿수를 가지며, 이를 통해 숫자의 위치와 크기를 결정합니다. 위치값 기수법의 핵심은 나열된 숫자들은 위치에 따라 크기가 정해진다는 것입니다. 위치값 기수법이 아닌 기수법 중에서 대표적인 로마 숫자는 숫자의 위치는 크기에 영향을 미치지 않고 기호 그 자체가 크기를 나타냅니다.

 

용어 정리

기수(Radix, Base):

기수는 각 자리에서 사용할 수 있는 숫자의 범위를 정의합니다. 예를 들어, 십진법(Decimal)에서는 기수가 10이며, 0부터 9까지 10개의 숫자를 사용합니다. 이진법(Binary System)에서는 기수가 2이며, 0과 1 두 개의 숫자를 사용합니다. N진법은 기수가 N이며 각 자리의 숫자가 0부터 N-1까지 N개의 범위를 가집니다.

 

자릿수

자릿수는 숫자의 위치를 의미합니다. 각 자릿수는 기수의 거듭제곱으로 나타낼 수 있습니다. 십진수 \(312_{10}\) 를 예를 들면 맨 오른쪽에서부터 왼쪽 끝가지 각 자릿수는 \(10^0,\;10^1,\;10^2 \)이고 1, 10, 100입니다. 이진법 \(1101_{2}\)을 예로 들면 맨 오른쪽에서부터 왼쪽 끝까지 각 자릿수는 \(2^0,\;2^1,\;2^2,\;2^3 \)이고 1, 2, 4, 8입니다.

 

자릿값

자릿값은 그 위치에서 숫자가 갖는 실제 값입니다. 자릿값은 해당 자리의 숫자와 자릿수(기수의 거듭제곱)을 곱하여 계산합니다. 예를 들어, 십진법(기수 10)에서 숫자 345의 각 자릿값은 다음과 같습니다.

• 5의 자릿값: \(5\times 10^0=5\)
• 4의 자릿값: \(4\times 10^1=40\)
• 3의 자릿값: \(5\times 10^2=500\)

 

 

수학적 표현법

기수법으로 나타낸 수 N을 수식으로 나타내면 다음과 같습니다.

$$
N_{b}= a_{n}\cdot b^{n}\;+\;a_{n-1}\cdot b^{n-1}\;+\;a_{n-2}\cdot b^{n-2}+\cdots+ a_{1}\cdot b^1\;+\;a_{0}\cdot b^0
$$

$$
N_{b}=\sum_{i=0}^{n}a_{i}\cdot b^i
$$

위 식에서 \(b\)는 기수를 의미합니다. \(a_{i}\)는 각 자리의 수를 의미하고 \(b^{i}\)는 자릿수를 의미합니다. 위 식에서 \(a_{i}\cdot b^i\)은 자릿값을 의미하므로 위치값 기수법에서 모든 수는 자릿값의 합으로 표현할 수 있습니다.

 

 

\(a_{i}\) 구하기

$$
\left \lfloor \frac{N_{b}}{b^i} \right \rfloor mod\;b=a_{i}
$$

추가적으로 위 수식도 알아두면 좋습니다. \(i\)번째 자리에 해당하는 수를 구할 수 있습니다. \(N_{b}\)를 \(i\)번째 자릿수로 나누고 내림합니다. 그 다음에 기수와의 나머지 연산을 통해 \(a_{i}\)를 구할 수 있습니다.

 

예를 들어 \(N_{b}=1234_{10}\)이고 \(i=2\)일 때, \(a_{2}\)는 2입니다.  \(a_{2}\)를 구해보겠습니다.
$$
\left \lfloor \frac{N_{b}}{b^i} \right \rfloor = \left \lfloor \frac{1234}{10^2} \right \rfloor=\left \lfloor \frac{1234}{100} \right \rfloor=\left \lfloor 12.34 \right \rfloor=12 \\
$$

최종적으로 아래와 같습니다.
$$
12\;mod\;10\;=\;2
$$

 

 

 

N진법을 10진법으로 변환

모든 N진법은 수와 기수의 거듭제곱의 곱을 모두 합하여 10진법으로 표현할 수 있습니다.

2진법을 10진법으로 변환

\(1011_{2}\)을 10진법으로 변환

$$
\begin{align*}
& 1011_{2} = \left(1\times 2^3\right)\;+\;\left(0\times 2^2\right)\;+\;\left(1\times 2^1\right)\;+\;\left(1\times 2^0\right) \\
& = \left(1\times 8\right)\;+\;\left(0\times 4\right)\;+\;\left(1\times 2\right)\;+\;\left(1\times 1\right) \\
& = 8\;+\;0\;+\;2\;+\;1 \\
& = 11
\end{align*}
$$

위와 같이 각 수와 자릿값을 서로 곱하고 그 곱한 값을 전부 더해주면 됩니다.

 

3진법을 10진법으로 변환

3진법은 기수가 3이며 각 자리는 0, 1, 2를 조합하여 표현할 수 있습니다. 자릿수는 기수의 거듭제곱이므로 \(1\to 3\to 9\to 27\to 81\cdots \) 이렇게 올라갈 것입니다.

 

\(1212_{3}\)을 10진법으로 변환

$$
\begin{align*}
& 1212_{3} = \left(1\times 3^3\right)\;+\;\left(2\times 3^2\right)\;+\;\left(1\times 3^1\right)\;+\;\left(2\times 3^0\right) \\
& = \left(1\times 27\right)\;+\;\left(2\times 9\right)\;+\;\left(1\times 3\right)\;+\;\left(2\times 1\right) \\
& = 27\;+\;18\;+\;3\;+\;2 \\
& = 50
\end{align*}
$$

 

16진법을 10진법으로 변환

16진법은 기수가 16이며 각 자리는 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F를 조합하여 표현할 수 있습니다. 자릿수는 기수의 거듭제곱이므로 \(1\to 16\to 256\to 4096\cdots \) 이렇게 올라갈 것입니다.

 

\(7E8_{16}\)을 10진법으로 변환

$$
\begin{align*}
& 7E8_{16} = \left(7\times 16^2\right)\;+\;\left(E\times 16^1\right)\;+\;\left(8\times 16^0\right) \\
& = \left(7\times 256\right)\;+\;\left(14\times 16\right)\;+\;\left(8\times 1\right) \\
& = 1792\;+\;224\;+\;8 \\
& = 2024
\end{align*}
$$