푸리에 급수 정의와 푸리에 계수 유도

푸리에 급수를 연구한 프랑스의 수학자 조제프 푸리에(Joseph Fourier)

 

푸리에 급수는 프랑스의 수학자 장 바티스트 조제프 푸리에(Jean-Baptiste Joseph Fourier)가 발견하고 개발한 급수입니다. 푸리에는 그의 연구를 통해 열전도 문제를 해결하려고 하였고, 그 과정에서 임의의 주기 함수가 삼각 함수(사인과 코사인)의 합으로 표현될 수 있음을 보였습니다. 이 결과는 1822년에 출판된 그의 저서 "열의 해석이론"(Théorie analytique de la chaleur)에서 처음 발표되었습니다. 여기서 급수란 수열 {\(a_{n} \)}의 각 항을 이렇게 차례대로 + 기호로 연결한 식을 말합니다.

$$a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdots + a_{n}$$

항의 개수가 유한한 급수를 유한급수, 항의 개수가 무한한 급수를 무한급수라 합니다. 아래 식은 무한급수를 표현한 식입니다.

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$$

푸리에 급수 또한 급수의 일종이기 때문에 수열의 합으로 표현할 수 있고 그 수열은 사인과 코사인 함수로 이루어진 수열입니다.

 

정현파(sinusoidal wave)

정현파(sinusoidal wave)는 사인파(sine wave)와 코사인파(cosine wave) 두 개의 파동을 포함하는 사인곡선적 파동이며 주기적이고 부드러운 파형입니다. 두 정현파를 합쳐서 화음을 만들듯이 새로운 음파를 만들 수 있고, 푸리에 급수로 분해하여 다시 두 개의 음파로 쪼갤 수 있습니다. 음파를 푸리에 급수로 분해하는 과정에서 하나의 음파를 서로 다른 주파수를 가진 수십 개의 정현파의 선형결합으로 표현할 수 있다는 걸 알게됩니다.

$$8000sin\left(882\theta \right)$$

위 그래프는 주파수가 441Hz이고 진폭이 8000인 A4의 음높이를 가진 음파를 함수 형태로 표현한 것입니다.

 

 

$$8000sin\left(1102\theta \right)$$

위 그래프는 주파수가 441Hz이고 진폭이 8000인 C5와 C#5 사이의 음높이를 가진 음파를 함수 형태로 표현한 것입니다.

 

위 음파는 두 정현파를 더해서 만든 음파입니다. 두 정현파의 합이 비정현파를 만들었음을 알 수 있습니다. 푸리에 급수를 이용하면 위 음파를 다시 두 개의 음파로 분리할 수 있습니다.

 

 

푸리에 급수

푸리에 급수는 사인함수와 코사인 함수의 합입니다. 또한 정현 함수들의 선형결합이라고 표현할 수 있습니다. 아무리 복잡한 주기함수라도 푸리에 급수로 분해할 수 있습니다. 푸리에 급수의 수식은 아래와 같습니다.

$$ f\left (x \right) = \sum_{n=0}^{\infty}\left ( a_{n}cos\left ( \frac{2\pi nx}{T} \right ) + b_{n}sin\left ( \frac{2\pi nx}{T} \right )\right ) $$

$$  = \sum_{n=0}^{\infty}\left ( a_{n}cos\left ( \frac{2\pi nx}{T} \right ) \right ) + \sum_{n=0}^{\infty} \left (b_{n}sin\left ( \frac{2\pi nx}{T} \right ) \right ) $$

 

\(T\)는 주기, \(a_{n}\)과 \(b_{n}\)은 푸리에 계수(Fourier coefficient)를 의미합니다. 주기인 \(T\)를 \(2\pi\)라고 했을 때 다음과 같이 식을 나타낼 수 있습니다. 당연하게도 \(n=0\)일 때 \(sin0=0\)이기 때문에 \(b_{0}\)은 존재하지 않고 \(a_{0}\)만 존재합니다.

$$
\begin{align*}
f\left(x\right)= a_{0}+a_{1}cosx+a_{2}cos2x+a_{3}cos3x+\cdots +a_{n}cosnx \\
+ b_{1}sinx+b_{2}sin2x+b_{3}sin3x+\cdots +b_{n}sinnx
\end{align*}
$$

 

푸리에 급수는 함수의 선형결합

고등학교 때 배운 크기와 방향을 가진 물리량만 벡터로 표현할 수 있는게 아니라 함수도 벡터로 볼 수 있습니다. 벡터 공간 상에서 객체가 만족해야 할 성질을 함수가 만족하기 때문입니다. 위 식에서 음파함수인 \( f\left (t \right) \)를 함수의 벡터공간 상에서 하나의 벡터로 바라볼 수 있습니다. 벡터를 서로 수직이고 스케일한 기저벡터의 합으로 표현할 수 있듯이 \(f\left(t \right)\)를 똑같이 선형결합으로 표현할 수 있습니다.

 

$$\vec{v}=f(x)\;\;\;\;\vec{u}=g(x)$$

함수 하나하나를 벡터로 바라볼 수 있으니 위와 같이 함수 f(x)를 \(\vec{v}\), 함수 g(x)를 \(\vec{u}\) 이라고 해보겠습니다.

여기서 \(\vec{v}\)와 \(\vec{u}\) 벡터의 내적은 \( v_{1}\cdot u_1 + v_{2}\cdot u_2 \) 이렇게 표현할 수 있습니다. 만약에 3차원이라고 하면 \(v_{1}\cdot u_1 + v_{2}\cdot u_2 + v_{3}\cdot u_3\) 이렇게 같은 성분들 끼리 짝지어서 곱한 다음에 더합니다. 이 내적을 함수 공간에서의 내적으로 표현하면 아래와 같습니다.

$$\left<f, g \right> = \int_{a}^{b} f(x)g(x) dt$$

 

함수 \(f\)와 \(g\)의 내적을 \( \left<f, g\right> \)라고 표기하고 정적분을 사용해 정의할 수 있습니다. 정적분은 연속적인 값들의 곱을 누적하여 합산하는 과정이고 이는 벡터 내적에서 성분들의 곱을 더하는 것과 유사합니다.

 

이번에는 구간 \([0, 2\pi]\)에서 정의된 두 함수, \(f(x)=sinx,\;\;g(x)=cosx\)를 놓고 두 함수의 내적 결과를 알아보겠습니다. 위에서 정의한 함수 내적의 정의에 따라서

 

$$
\begin{align*}
& \left<f, g\right> \\
& = \int_{0}^{2\pi }sinxcosx\;dx \\
& = \int_{0}^{2\pi }\frac{1}{2}sin2x\;dx \\
& = -\frac{1}{2}\cdot \left[cos2x \right ]_{0}^{2\pi} \\
& = 0
\end{align*}
$$

 

위 결과를 통해 \( sinx \)와 \( cosx \)의 내적은 0이므로  \( sinx \)와 \( cosx \)는 직교(orthogonal)한다는 사실을 알았습니다. 여기서 증명을 다루진 않겠지만 아래있는 식들을 정적분해보면 임의의 정수 n과 m에 대해 모두 참임을 증명할 수 있습니다.

 

$$
\begin{align*}
\left<sin(nx), \;cos(mx)\right> = 0
\end{align*}
$$

 

(\(n \neq m\))일 때 다음 식이 성립한다.

$$
\begin{align*}
\left<sin(nx), \;sin(mx)\right> = 0\\
\left<cos(nx), \;cos(mx)\right> = 0
\end{align*}
$$

 

위 식을 통해 서로 다른 모든 코사인 함수와 사인 함수는 내적 관점에서 서로 수직이라고 말할 수 있습니다. 또한 임의의 정수 n에 대해 다음 두 식이 성립합니다.

$$
\begin{align*}
\left<sin(nx), \;sin(nx)\right> = \pi\\
\left<cos(nx), \;cos(nx)\right> = \pi
\end{align*}
$$

 

푸리에 급수를 실수배한 기저벡터의 합으로 표현했을 때 \(sinnx\)와 \(cosnx\)는 서로 수직이고 크기가 같은 기저 벡터로 볼 수 있고 \(a_{n}\)과 \(b_{n}\)은 벡터의 성분으로 볼 수 있습니다. 2차원 벡터 공간에서 \(\vec{a}=(4,3)\)의 x성분과 y성분을 스칼라로 보고 각각 표준 기저 벡터에 곱했을 때 했을 때 \(\vec{a}=4\cdot \hat{i} + 3\cdot \hat{j}\) 이렇게 표현할 수 있는 것과 같습니다.

 

푸리에 계수 구하기

$$  
f\left(x\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\left ( a_{n}cos\;nx+b_{n}sin\;nx \right )
$$

 

벡터의 성분을 기저 벡터와의 내적으로 구할 때 처럼 비정현파인 \( f\left(x \right)\ \)를 구할 때도 기저 벡터와의 내적으로 구할 수 있습니다. 즉 \(\left< f\left(x \right)\ , cos(nx)\right>\) 결과로 \(a_{n}\)을 구할 수 있고 \(\left< f\left(x \right)\ , sin(nx)\right>\) 결과로 \(b_{n}\)을 구할 수 있습니다.

 

푸리에 급수에서 \(sinnx\)와 \(cosnx\)은 기저 벡터이고 \(a_{n}\)과 \(b_{n}\)은 함수 \( f\left(x\right) \)의 성분임을 알았습니다. 이제 푸리에 계수인 \(a_{n}\)과 \(b_{n}\)와 상수항만 구한다면 주기함수를 푸리에 급수로 표현할 수 있습니다.

 

\(a_{n}\) 구하기

$$
\begin{align*}
& \left<f\left(x\right), cos\;mx\right> = \int_{0}^{2\pi}f\left(x\right) \cdot cos\;mx \\
& = \int_{0}^{2\pi}\sum_{n=0}^{\infty}\left ( a_{n}cos\;nx+b_{n}sin\;nx \right ) \cdot cos\;mx \\
& = \sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{2\pi}\left(a_{n}cos\;nx\cdot cos\;mx  + b_{n}sin\;nx\cdot cos\;mx\right) \\
& = \sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{2\pi}a_{n}cos\;nx\cdot cos\;mx + \int_{0}^{2\pi}b_{n}sin\;nx\cdot cos\;mx
\end{align*}
$$

\(\int_{0}^{2\pi}b_{n}sin\;nx\cdot cos\;mx\) 정적분은 \(\left<sin(nx), \;cos(mx)\right> = 0\) 이 식을 통해 알 수 있듯이 정적분 결과는 0이 됩니다. \(\int_{0}^{2\pi}a_{n}cos\;nx\cdot cos\;mx\) 정적분은은 (\(n \neq m\))일 때 결과는 0이 되고 (\(n = m\)) 일 때, \(\left<cos(nx), \;cos(nx)\right> = \pi\)라는 식에 의해서 \(\pi\)가 된다는 걸 알 수 있습니다. 그래서 최종적으로 다음과 같이 내적 결과를 구할 수 있습니다.

$$
\left<f\left(x\right), cos\;nx\right>\;=\int_{0}^{2\pi}f\left(x\right) \cdot cos\;nx\;=\;a_{n} \cdot \pi
$$
$$
 \therefore a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f\left(x\right)\cdot cos\;nx\; dx
$$

 

\(b_{n}\) 구하기

$$
\begin{align*}
& \left<f\left(x\right), sin\;mx\right> = \int_{0}^{2\pi}f\left(x\right) \cdot sin\;mx \\
& = \int_{0}^{2\pi}\sum_{n=0}^{\infty}\left ( a_{n}cos\;nx+b_{n}sin\;nx \right ) \cdot sin\;mx \\
& = \sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{2\pi}\left(a_{n}cos\;nx\cdot sin\;mx  + b_{n}sin\;nx\cdot sin\;mx\right) \\
& = \sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{2\pi}a_{n}cos\;nx\cdot sin\;mx + \int_{0}^{2\pi}b_{n}sin\;nx\cdot sin\;mx \\
& = b_{m} \cdot \pi
\end{align*}
$$

\(b_{n}\)을 구할 때도 \(a_{n}\)을 구할 때와 마찬가지로 위에서 정리한 식을 이용하여 내적 결과가 다음과 같음을 알 수 있습니다.

$$
\left<f\left(x\right), sin\;nx\right>\;=\int_{0}^{2\pi}f\left(x\right) \cdot sin\;nx\;=\;b_{n} \cdot \pi
$$
$$
 \therefore b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f\left(x\right)\cdot sin\;nx\; dx
$$

 

\(a_{0}\) 구하기

$$
\begin{align*}
& \left<f\left(x\right), 1\right> = \int_{0}^{2\pi}f\left(x\right) \cdot 1 \\
& = \int_{0}^{2\pi}\sum_{n=0}^{\infty}\left ( a_{n}cos\;nx+b_{n}sin\;nx \right ) \cdot 1 \\
& = \sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{2\pi}\left(a_{n}cos\;nx + b_{n}sin\;nx\right) \\
& = \sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{2\pi}a_{n}cos\;nx + \int_{0}^{2\pi}b_{n}sin\;nx
\end{align*}
$$

\(\left(n=1,2,3\cdots n\right)\)일 때 코사인 함수를 0부터 \(2\pi\)까지 정적분하면 0이 되고 사인 함수도 0부터 \(2\pi\)까지 정적분하면 0이 됩니다. 결국 \(n=0\) 일 때 상수항인 \(a_{0}\)만 남게 되고 \(a_{0}\)를 0부터 \(2\pi\)까지 정적분하면 결과는 \(2\pi\)가 됩니다.

$$
\left<f\left(x\right), 1\right>\;=\int_{0}^{2\pi}f\left(x\right) \cdot 1\;=\;a_{0} \cdot 2\pi
$$
$$
 \therefore a_{0}=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f\left(x\right)\; dx
$$

 

 

결론

푸리에 급수의 기본 개념은 복잡한 주기 함수를 보다 단순한 주기 함수의 합으로 나타내어 분석하는 것입니다. 이는 공학, 물리학, 신호 처리 등 다양한 분야에서 매우 중요한 도구로 사용되고 있습니다. 푸리에 급수는 주기적인 신호나 함수를 분석하고 합성하는 데 특히 유용하며, 이는 현대의 푸리에 변환 및 신호 처리 이론의 기초가 되었습니다.