푸리에 급수 정의와 푸리에 계수 유도

푸리에 급수를 연구한 프랑스의 수학자 조제프 푸리에(Joseph Fourier)

 

푸리에 급수는 프랑스의 수학자 장 바티스트 조제프 푸리에(Jean-Baptiste Joseph Fourier)가 발견하고 개발한 급수입니다. 푸리에는 그의 연구를 통해 열전도 문제를 해결하려고 하였고, 그 과정에서 임의의 주기 함수가 삼각 함수(사인과 코사인)의 합으로 표현될 수 있음을 보였습니다. 이 결과는 1822년에 출판된 그의 저서 "열의 해석이론"(Théorie analytique de la chaleur)에서 처음 발표되었습니다. 여기서 급수란 수열 {$a_n$}의 각 항을 이렇게 차례대로 + 기호로 연결한 식을 말합니다.

$$a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n$$

항의 개수가 유한한 급수를 유한급수, 항의 개수가 무한한 급수를 무한급수라 합니다. 아래 식은 무한급수를 표현한 식입니다.

$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$$

푸리에 급수 또한 급수의 일종이기 때문에 수열의 합으로 표현할 수 있고 그 수열은 사인과 코사인 함수로 이루어진 수열입니다.

 

정현파(sinusoidal wave)

정현파(sinusoidal wave)는 사인파(sine wave)와 코사인파(cosine wave) 두 개의 파동을 포함하는 사인곡선적 파동이며 주기적이고 부드러운 파형입니다. 두 정현파를 합쳐서 화음을 만들듯이 새로운 음파를 만들 수 있고, 푸리에 급수로 분해하여 다시 두 개의 음파로 쪼갤 수 있습니다. 음파를 푸리에 급수로 분해하는 과정에서 하나의 음파를 서로 다른 주파수를 가진 수십 개의 정현파의 선형결합으로 표현할 수 있다는 걸 알게됩니다.

$$8000sin\left(882\theta \right)$$

위 그래프는 주파수가 441Hz이고 진폭이 8000인 A4의 음높이를 가진 음파를 함수 형태로 표현한 것입니다.

 

 

$$8000sin\left(1102\theta \right)$$

위 그래프는 주파수가 441Hz이고 진폭이 8000인 C5와 C#5 사이의 음높이를 가진 음파를 함수 형태로 표현한 것입니다.

 

위 음파는 두 정현파를 더해서 만든 음파입니다. 두 정현파의 합이 비정현파를 만들었음을 알 수 있습니다. 푸리에 급수를 이용하면 위 음파를 다시 두 개의 음파로 분리할 수 있습니다.

 

 

푸리에 급수

푸리에 급수는 사인함수와 코사인 함수의 합입니다. 또한 정현 함수들의 선형결합이라고 표현할 수 있습니다. 아무리 복잡한 주기함수라도 푸리에 급수로 분해할 수 있습니다. 푸리에 급수의 수식은 아래와 같습니다.

$$f\left(x\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(a_{n}cos\left(\frac{2\pi nx}{T}\right)+b_{n}sin\left(\frac{2\pi nx}{T}\right))$$

$$=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(a_{n}cos\left(\frac{2\pi nx}{T}\right)\right)+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(b_{n}sin\left(\frac{2\pi nx}{T}\right)\right)$$

 

$T$는 주기, $a_n$과 $b_n$은 푸리에 계수(Fourier coefficient)를 의미합니다. 주기인 $T$를 $2\pi$라고 했을 때 다음과 같이 식을 나타낼 수 있습니다. 당연하게도 $n=0$일 때 $sin0=0$이기 때문에 $b_0$은 존재하지 않고 $a_0$만 존재합니다.

$$\begin{array}{r}f\left(x\right)=a_0+a_{1}cosx+a_{2}cos2x+a_{3}cos3x+\cdots +a_{n}cosnx\\ +b_{1}sinx+b_{2}sin2x+b_{3}sin3x+\cdots +b_{n}sinnx\end{array}$$

 

푸리에 급수는 함수의 선형결합

고등학교 때 배운 크기와 방향을 가진 물리량만 벡터로 표현할 수 있는게 아니라 함수도 벡터로 볼 수 있습니다. 벡터 공간 상에서 객체가 만족해야 할 성질을 함수가 만족하기 때문입니다. 위 식에서 음파함수인 $f\left(t\right)$를 함수의 벡터공간 상에서 하나의 벡터로 바라볼 수 있습니다. 벡터를 서로 수직이고 스케일한 기저벡터의 합으로 표현할 수 있듯이 $f\left(t\right)$를 똑같이 선형결합으로 표현할 수 있습니다.

 

$$\overrightarrow{v}=f(x)\overrightarrow{u}=g(x)$$

함수 하나하나를 벡터로 바라볼 수 있으니 위와 같이 함수 f(x)를 $\overrightarrow{v}$, 함수 g(x)를 $\overrightarrow{u}$ 이라고 해보겠습니다.

여기서 $\overrightarrow{v}$와 $\overrightarrow{u}$ 벡터의 내적은 $v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2$ 이렇게 표현할 수 있습니다. 만약에 3차원이라고 하면 $v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3$ 이렇게 같은 성분들 끼리 짝지어서 곱한 다음에 더합니다. 이 내적을 함수 공간에서의 내적으로 표현하면 아래와 같습니다.

$$⟨f,g⟩={\int }_a^{b}f(x)g(x)dt$$

 

함수 $f$와 $g$의 내적을 $⟨f,g⟩$라고 표기하고 정적분을 사용해 정의할 수 있습니다. 정적분은 연속적인 값들의 곱을 누적하여 합산하는 과정이고 이는 벡터 내적에서 성분들의 곱을 더하는 것과 유사합니다.

 

이번에는 구간 $[0,2\pi ]$에서 정의된 두 함수, $f(x)=sinx,g(x)=cosx$를 놓고 두 함수의 내적 결과를 알아보겠습니다. 위에서 정의한 함수 내적의 정의에 따라서

 

$$\begin{array}{rl}& ⟨f,g⟩\\ & ={\int }_0^{2\pi }sinxcosxdx\\ & ={\int }_0^{2\pi }\frac{1}{2}sin2xdx\\ & =-\frac{1}{2}\cdot {\left[cos2x\right]}_0^{2\pi }\\ & =0\end{array}$$

 

위 결과를 통해 $sinx$와 $cosx$의 내적은 0이므로  $sinx$와 $cosx$는 직교(orthogonal)한다는 사실을 알았습니다. 여기서 증명을 다루진 않겠지만 아래있는 식들을 정적분해보면 임의의 정수 n과 m에 대해 모두 참임을 증명할 수 있습니다.

 

$$\begin{array}{r}⟨sin(nx),cos(mx)⟩=0\end{array}$$

 

($n\ne m$)일 때 다음 식이 성립한다.

$$\begin{array}{r}⟨sin(nx),sin(mx)⟩=0\\ ⟨cos(nx),cos(mx)⟩=0\end{array}$$

 

위 식을 통해 서로 다른 모든 코사인 함수와 사인 함수는 내적 관점에서 서로 수직이라고 말할 수 있습니다. 또한 임의의 정수 n에 대해 다음 두 식이 성립합니다.

$$\begin{array}{r}⟨sin(nx),sin(nx)⟩=\pi \\ ⟨cos(nx),cos(nx)⟩=\pi \end{array}$$

 

푸리에 급수를 실수배한 기저벡터의 합으로 표현했을 때 $sinnx$와 $cosnx$는 서로 수직이고 크기가 같은 기저 벡터로 볼 수 있고 $a_n$과 $b_n$은 벡터의 성분으로 볼 수 있습니다. 2차원 벡터 공간에서 $\overrightarrow{a}=(4,3)$의 x성분과 y성분을 스칼라로 보고 각각 표준 기저 벡터에 곱했을 때 했을 때 $\overrightarrow{a}=4\cdot \hat{i}+3\cdot \hat{j}$ 이렇게 표현할 수 있는 것과 같습니다.

 

푸리에 계수 구하기

$$f\left(x\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(a_{n}cosnx+b_{n}sinnx)$$

 

벡터의 성분을 기저 벡터와의 내적으로 구할 때 처럼 비정현파인 $f\left(x\right)$를 구할 때도 기저 벡터와의 내적으로 구할 수 있습니다. 즉 $⟨f\left(x\right),cos(nx)⟩$ 결과로 $a_n$을 구할 수 있고 $⟨f\left(x\right),sin(nx)⟩$ 결과로 $b_n$을 구할 수 있습니다.

 

푸리에 급수에서 $sinnx$와 $cosnx$은 기저 벡터이고 $a_n$과 $b_n$은 함수 $f\left(x\right)$의 성분임을 알았습니다. 이제 푸리에 계수인 $a_n$과 $b_n$와 상수항만 구한다면 주기함수를 푸리에 급수로 표현할 수 있습니다.

 

$a_n$ 구하기

$$\begin{array}{rl}& ⟨f\left(x\right),cosmx⟩={\int }_0^{2\pi }f\left(x\right)\cdot cosmx\\ & ={\int }_0^{2\pi }\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(a_{n}cosnx+b_{n}sinnx)\cdot cosmx\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{2\pi }(a_{n}cosnx\cdot cosmx+b_{n}sinnx\cdot cosmx)\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{2\pi }{a}_{n}cosnx\cdot cosmx+{\int }_0^{2\pi }{b}_{n}sinnx\cdot cosmx\end{array}$$

${\int }_0^{2\pi }{b}_{n}sinnx\cdot cosmx$ 정적분은 $⟨sin(nx),cos(mx)⟩=0$ 이 식을 통해 알 수 있듯이 정적분 결과는 0이 됩니다. ${\int }_0^{2\pi }{a}_{n}cosnx\cdot cosmx$ 정적분은은 ($n\ne m$)일 때 결과는 0이 되고 ($n=m$) 일 때, $⟨cos(nx),cos(nx)⟩=\pi$라는 식에 의해서 $\pi$가 된다는 걸 알 수 있습니다. 그래서 최종적으로 다음과 같이 내적 결과를 구할 수 있습니다.

$$⟨f\left(x\right),cosnx⟩={\int }_0^{2\pi }f\left(x\right)\cdot cosnx=a_n\cdot \pi$$
$$\therefore a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }f\left(x\right)\cdot cosnxdx$$

 

$b_n$ 구하기

$$\begin{array}{rl}& ⟨f\left(x\right),sinmx⟩={\int }_0^{2\pi }f\left(x\right)\cdot sinmx\\ & ={\int }_0^{2\pi }\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(a_{n}cosnx+b_{n}sinnx)\cdot sinmx\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{2\pi }(a_{n}cosnx\cdot sinmx+b_{n}sinnx\cdot sinmx)\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{2\pi }{a}_{n}cosnx\cdot sinmx+{\int }_0^{2\pi }{b}_{n}sinnx\cdot sinmx\\ & =b_m\cdot \pi \end{array}$$

$b_n$을 구할 때도 $a_n$을 구할 때와 마찬가지로 위에서 정리한 식을 이용하여 내적 결과가 다음과 같음을 알 수 있습니다.

$$⟨f\left(x\right),sinnx⟩={\int }_0^{2\pi }f\left(x\right)\cdot sinnx=b_n\cdot \pi$$
$$\therefore b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }f\left(x\right)\cdot sinnxdx$$

 

$a_0$ 구하기

$$\begin{array}{rl}& ⟨f\left(x\right),1⟩={\int }_0^{2\pi }f\left(x\right)\cdot 1\\ & ={\int }_0^{2\pi }\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(a_{n}cosnx+b_{n}sinnx)\cdot 1\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{2\pi }(a_{n}cosnx+b_{n}sinnx)\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{2\pi }{a}_{n}cosnx+{\int }_0^{2\pi }{b}_{n}sinnx\end{array}$$

$(n=1,2,3\cdots n)$일 때 코사인 함수를 0부터 $2\pi$까지 정적분하면 0이 되고 사인 함수도 0부터 $2\pi$까지 정적분하면 0이 됩니다. 결국 $n=0$ 일 때 상수항인 $a_0$만 남게 되고 $a_0$를 0부터 $2\pi$까지 정적분하면 결과는 $2\pi$가 됩니다.

$$⟨f\left(x\right),1⟩={\int }_0^{2\pi }f\left(x\right)\cdot 1=a_0\cdot 2\pi$$
$$\therefore a_0=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f\left(x\right)dx$$

 

 

결론

푸리에 급수의 기본 개념은 복잡한 주기 함수를 보다 단순한 주기 함수의 합으로 나타내어 분석하는 것입니다. 이는 공학, 물리학, 신호 처리 등 다양한 분야에서 매우 중요한 도구로 사용되고 있습니다. 푸리에 급수는 주기적인 신호나 함수를 분석하고 합성하는 데 특히 유용하며, 이는 현대의 푸리에 변환 및 신호 처리 이론의 기초가 되었습니다.