벡터의 선형결합(linear combination)

단위벡터

선형결합을 설명하기에 앞서 우선 단위벡터에 대해 설명하겠습니다.

 

(1, 0)과 (0, 1) 좌표로 표현되고 길이가 1인 벡터를 2차원 공간의  단위벡터 또는 기본벡터라고 부릅니다.

x축에 위에 놓여있는 단위벡터를 e₁ 혹은 î(i햇)이라 표현합니다.

y축에 위에 놓여있는 단위벡터를 e₂ 혹은 ĵ(j햇)이라 표현합니다.

 

3차원 공간상의 단위벡터는 e₁ = (1, 0, 0), e₂ = (0, 1, 0), e₃ = (0, 0, 1) 입니다.

 

선형결합(linear combination)

일차결합이라고도 불리는 선형결합을 설명하겠습니다. 우선 위키백과에 적혀있는 설명을 그대로 복사붙여넣기 해볼게요

 

선형 결합(線型 結合, linear combination) 또는 일차 결합(一次 結合)은 수학에서 각 항에 상수를 곱하고 결과를 더함으로써 일련의 항으로 구성된 표현식이다.

 

위 설명에서 언급하는 항이라는 단어는 벡터이고 상수는 스칼라입니다. 즉, 각 벡터의 스칼라곱을 구해 합한 것이 선형결합입니다. 당연히 이렇게만 설명하면 이해하고 어렵고 가슴에 와닿지 않습니다. 때문에 한 번 선형결합을 풀어서 천천히 설명해보겠습니다.

 

 

우선 아래 xy좌표평면에서 좌표 (4, 3)로 표현된 벡터 a가 있다고 해보겠습니다. 그리고 벡터 a의 x좌표와 y좌표를 스칼라로 생각하고 단위벡터를 각각 스케일(실수배) 해보겠습니다.

 

 

e₁ 단위벡터를 스케일하여 길이를 4만큼 늘려주고 e₂ 단위벡터를 스케일하여 길이를 3만큼 늘려줬습니다.

이렇게 임의의 벡터 각 좌표를 스칼라로 생각하고 단위벡터를 스케일 해준다는 느낌이 중요합니다.

 

 

즉, 벡터 a는 두 벡터를 스칼라곱하여 더한 결과 벡터라고 표현할 수 있습니다.

이렇게 임의의 벡터를 스케일한 두 벡터의 합으로 해석하는 건 굉장히 유용하고 중요합니다.

이처럼 스케일(실수배)한 두 벡터를 더하여 새로운 벡터를 얻는 연산을 두 벡터의 선형결합이라고 합니다.

 

 

기저의 교체

여기서 잠깐 지금까지 언급했던 e₁과  e₂ 단위벡터의 다른 표현법을 설명하겠습니다.

 

a = 4e₁ + 3e₂

벡터 a를 위 수식으로 나타냈을 때 스칼라인 4와 3이 스케일하는 대상을 기저 벡터라고 부릅니다. 단위 벡터인 e₁과 e₂도 기저의 일종이며 이들은 특별히 표준 기저라고 부릅니다.

 

예를 들어 (7, 8) 좌표에 위치한 벡터 p가 있습니다.

p = (7, 8)

 

그리고 이 벡터를 스케일한 단위벡터의 합으로 분해하면 아래와 같습니다.

(7, 8) = 7(1, 0) + 8(0, 1)   =>   p = 7e₁ + 8e₂

 

여기서 만약 아래와 같은 두 기저 쌍이 있다고 했을 때

a = (2, 1), b = (1, 2)

 

벡터 p를 아래와 같이 바꾸어 쓸 수도 있습니다.

(7, 8) = 2(2, 1) + 3(1, 2)   =>   p = 2a + 3b

 

이것은 표준 기저인  e₁과 e₂를 기저로 사용하지 않고 a와 b를 기저로 사용할 수 있다는 뜻입니다. 일반적으로 기준이 되는 벡터를 교체하는 것을 기저의 교체라고 합니다.

 

기저를 선택할 때 표준 기저인  e₁과 e₂가 아니라 아래 좌표평면에 보이는 빨간색 화살표 벡터와 파란색 화살표 벡터를 골랐다고 해봅시다.

특정 두 스칼라를 택하여 두 기저를 스케일하여 더했을 때 얻을 수 있는 벡터들은 2차원 공간상의 있는 모든 벡터입니다.

물론 아래있는 검은색 화살표 벡터는 기저를 표준기저로 바꾼다면 완전히 새로운 벡터가 될 것입니다.